V. Postulat ve Öklid dışı Geometrilerin Felsefi Bağlantısı, Eğitimdeki Yeri

/ 7 Eylül 2021 / 263 views / yorumsuz
V. Postulat ve Öklid dışı Geometrilerin Felsefi Bağlantısı, 	Eğitimdeki Yeri

ÖZ


V. postulat Öklid’in MÖ 3. yy’da paralellik konusuyla ilgili olarak ortaya koyduğu matematiksel bir önermedir. Kazanılan düşünce biçimleri yalnız matematiksel boyutta kalmayıp sosyal hayatın, felsefi algının da bir parçası olagelmiştir. Öklid dışı geometriler üzerine çalışan matematikçiler farklı geometrik postulatların olabileceği görüşünü ileri sürdüler. Bunlar V. paralellik postulatının tersini söylemekteydi. Yani bu dönemler hem matematik hem Kant felsefesi açısından bir krizin ortaya çıkışının işaretiydi. Konu aynı zamanda bazı felsefi yargıların da ele alınmasını gerektiriyordu. Karşılaştırmalarla V. postulat, Kant’ın önermesi ve Öklid dışı geometrilerin ne olduğu ortaya konmaya ve çözülmeye çalışıldı. Üç geometrinin birbirleriyle olan farklılıkları ve özellikleri değerlendirildi. Matematikte ve Kant önermesindeki kriz üzerine Frege tarafından analitik felsefenin temelleri atılmıştı. Russell de analitik felsefeci olarak bu çalışmanın içersinde yer aldı. Süreçle beraber ortaya çıkan gelişmelere değinildi.

Öklid dışı geometriler konusunda üniversite son sınıf düzeyinde yapılan araştırmalarda olumsuz sonuçlar elde edilmiştir. Öğrencilerin bu konuda ya yanlış ya da noksan bilgiye sahip oldukları ortaya çıkmıştır. Temel eğitimde Öklid dışı geometriye ve topolojiye yer verilmediği gibi yüksek öğrenimde de gerektiği gibi yer almadığı anlaşılmaktadır. Öklid dışı geometrilerin yol açtığı görecelik, kuantum gibi modern fizik kavramlar göz önüne alındığında eğitimdeki önemi de anlaşılabilir. Bunlar dünya ve kültürel algılarda da rol oynar. Sezgisel ve kavramsal olarak temel eğitimlerde yer alabileceğine işaret edildi. Örneğin oyunsal bir takım uygulamalarla topoloji ve geometri kavramlarının verilebileceği gösterildi. Sezgisel olarak da olsa bu kavramların çeşitli uygulamalarla verilmesi hem değerler açısından hem vizyon ve bir temel oluşturmada önem kazanacaktır.
Anahtar sözcükler: V. postulat, Öklid dışı geometriler, Kant, Eğitim

Giriş


Öklid’in beş maddelik postulatı iki bin yıldır kabul görürken 18. yy’da V. postulat üzerinde çekimser ve karşıt görüşler ortaya çıkmaya başlamıştı. V. postulat şudur: “Eğer bir doğru iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir.” Bunun anlamı iki doğrunun paralel olması için onları kesen doğrunun aynı yöndeki açılarının toplamı 180 derece olmalıdır. Eğer bu açılar 180 derecenin altına düşüyorsa o zaman iki doğru, açının dar eğim kazandığı yöne doğru birbirini keser. 18. yy’da Playfair (1748-1819) postulattaki ifadeyi daha sade, belirgin bir hale getirdi: “Bir doğruya o doğrunun dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.” Yani yukarıda bahsettiğimiz 180 derecelik şartı belirleyen tek bir konum olabileceği sonucu çıkar.
Paralel kavramı birbiriyle kesişmeyen iki doğru anlamına gelir. Birbirine paralel doğrular ise V. postulatın dışarıdan başka noktalar alınarak birbiri üzerine çoğaltılmış halidir. Yani düzlemsel alanda her bir dış noktaya bir paralel doğru düşer. Paralel hareket, birbiriyle kesişmeden giden iki doğrunun hareketidir. Tren rayı buna güzel bir örnek oluşturur. Raylar birbirine paralel olmasa tren ilerleyemez. Raylar kavisli de olsa raylar arasında V. postulatın 180 derecelik kuralı yine geçerli olmaktadır.
Kant Öklid geometrisine bağlı kalarak geometri önermelerinin deneysel olmayan zaman ve mekândan bağımsız, zorunlu sentetik a priori formlar olduklarını ileri sürmüştü. Örneğin üçgen kavramı, ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen, açı kavramı doğada tam karşılığı olmayan zihinde özelleştirilmiş sentetik formlardı. Ancak bu formlar mimariye, tekniğe uygulanabilmekteydi. Zihnin kendine özgü doğasının yaratıcı formlarıydı. Doğanın kendisinde de bitki ve çiçekler üzerinde geometrik formların yattığı görülmektedir. Kelebek kanadında simetrik formları buluruz. Froktal, spiral formlar vs. doğada rastlanılan şeylerdir. Zihnin doğası da bünyesinde çeşitli formları bir araya getirerek sistemli çıkarımlar yapabiliyor. Ama elbette bu edimi evrensel, doğasal deneyim ilişkisi içerisinde gerçekleştirebilmektedir. Zihnin yaratıcı edimi onun evreni, yaşamı daha iyi anlayabilmesine yardımcı olur.

19. yy’da dönemin önde gelen matematikçisi Gauss manyetizma, topoloji ve jeodezi üzerine çalışmalar yapmaktaydı. Yerin ve çekirdeğin manyetizması üzerinde duruyordu. İniş ve çıkışları gösteren bir harita da yapmıştı. Manyetik alanın bir cismi sarmalayışındaki özelliği anlamak istiyordu. Üzerinde durduğu konularla negatif eğrisel doğrular kavramına ulaşmış olmalıdır. Kendisi manyetizmada cisimlerin manyetik birimi olan cgs sistemini bulmuştur. Çok buluşları vardır. Negatif eğimsel yüzeylerle ilgili çalışmasıyla hiperbolik geometriyi ortaya çıkarmıştır. Geometrik diferansiyel, ilk istatistik hesaplamaları olan çan eğrisi ve ortalaması onun buluşları arasındadır. Ancak Gauss V. paralellik postulatına karşı bulduğu yeni görüşleri ortaya çıkarmak istememiştir. O dönemde iki bin yıllık Öklid geometrisi Kant’ın da ileri sürdüğü görüşle sağlam yerini koruyordu. Hiperbolik geometrinin ne olduğunu açıklamadan önce gelişen sürece göz atacağız.

Gauss’un matematikçi bir arkadaşının oğlu Bolyai kendisini V. postulatın karşıtı olan hiperbolik geometrideki bu konuya vermişti. Babası konuyla yıllarca kendisinin de uğraşmış biri olarak oğluna bu uğraşından vazgeçmesi yoksa ne huzurunun ne de mutluluğunun kalmayacağı endişesini dile getirmişti. Ama Bolyai babasının sözüne ve endişelerine kulak asmayarak çalışmasını sürdürdü. Bir kopyasını babasına göndererek görüşünü almak istedi. Babası da kopyayı Gauss’a gönderdi. Gauss çalışmanın güzel ve doğru olduğunu ama kendisinin bu konu üzerinde uzun yıllar çalışan biri olarak şaşkın olduğunu ifade etti. Kendi çalışmalarını ise zaten azını kâğıda dökmüş olduğunu ve yayınlamayı hiç düşünmediğini söyledi. Bunun üzerine Bolyai makalesini babasının çıkardığı bir kitaba ek olarak birkaç yıllık bir gecikmeyle ortaya çıkardı.

Rusya’da Lobachevsky adlı öğrenci Gauss’un hocalığını yapmış Bartels’den ders aldı. Yetenekli bir öğrenciydi, yirmi bir yaşında üniversite kadrosuna geçti. Sonra “Geometrinin Prensipleri” adlı makaleyi 1829’da yayınladı. Öklid dışı geometrinin ilk resmi yayını kabul edilir. Ancak Rusya’da pek ilgi uyandırmamıştır. Gauss ve Bolyai’nin uzun zaman sonra haberleri olmuştur.

Kısaca öykülerine değindiğimiz üç matematikçinin ortaya çıkardığı hiperbolik geometrinin ne olduğuna bakalım. Öklid dışı geometriler sonlu alanlarla ilgilidir. Kürenin iç yüzeyi negatif eğimlidir. Çan eğrisi ya da bir ters bir huni şeklini düşünürsek bu alan üzerinde bir doğrunun dışındaki bir noktadan o doğruya sonsuz sayıda paralel doğrular çizilir. Yüzey hiperbole benzeyip negatif eğimli ya da kavisli yapıya sahip olduğu için doğrular ne aşağı ne yukarı doğru birbirini kesmez. Bunun anlamı V. postulattaki Playfair’in belirginleştirdiği ifadeye karşıt bir sonucun çıkmış olmasıdır. Yani Öklid’in V. postulatının tersini söylemektedir. Ayrıca negatif ya da içbükey yüzeyde çizilecek bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçük olacaktır. Öklid’in düzlem geometrisindeki yüzey üzerindeki üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceydi. Hem paralellik hem üçgen tanımında farlılık ortaya çıkıyordu. Tabii bu da yüzey şeklinin farklı olmasından ileri gelen bir durumdu. Dünya küresel bir konumda olduğundan onun iç yüzeyi hiperbolik özellik gösterir. Hiperbolik geometriden onun karşıt yorumu da yine Öklid dışı bir geometri olan eliptik geometriyi ortaya çıkarmıştır. Sonuçta her ikisi de Öklid dışı geometrilerdir.

Riemann akademide istenen deneme dersinde Gauss’un etkisiyle eliptik geometri üzerine geliştirdiği çalışmayı sunar. Konu üzerinde birikime sahip olan Gauss’un sunuma karşı duyduğu derin etki eliptik geometriyle uzay fiziğine getirilen tablonun felsefi yönünü de taşır. Eliptik geometri yüzeyi küresel anlamda düşünür. Ekvator çizgisi üzerine dik olarak çizilen boylamlar kutuplarda kesiştiklerinden V. postulatın aksine bir doğruya dışındaki bir noktadan hiçbir paralel doğru çizilemez. Riemann’ın geometri formlarının küresel ölçeğe dayanan gösterimi Kant’ın geometrik önermelerin sentetik a priorisine karşı çelişik bir durumu sergilemekte midir? Ne var ki Kant Öklid geometrisi dışında bir geometrinin olanaksızlığından bahsetmez. Bu konuya yine döneceğiz. Eliptik geometriyi soyulmuş bir portakalın dilimleri arasındaki çizgilerde bulabiliriz. Portakal dilimleri alt ve üst noktalarda birleşmesiyle dünyanın eliptik geometrisine benzemektedir. Riemann pozitif eğimli yüzeyden, Lobachevski de onun tersi olan negatif yüzeyden sonuçlar çıkarmışlardır. Eliptik geometride yüzey üzerine çizilecek üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyük olurken hiperbolik yüzeydeki üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçük olmaktadır.

Öklid dışı geometrilerin ortaya çıkması evreni farklı geometriler temsil edebilir mi sorusunu ortaya çıkartırken Gauss’un konuya yaklaşımı her geometrinin evreni temsil edeceği, çünkü geometrinin uzayın doğrularını değil kuramsal olarak mümkün olan uzaylardaki gerçekliği inceledikleri yönündedir. Her üç geometrinin de mekân-uzay yapısına bağlı olarak ele alınmış geometriler olduğunu söylememiz gerekir. Öklid geometrisi olan düzlem geometriyi ele alırsak MÖ. 3. yy’da ortaya çıkmış olup düzlemsel uzay üzerinden üç boyutlu olarak tasarlanmıştır. Bir de o dönemin uzay fiziğinin, matematiğin şimdiki kadar gelişmediğini de göz önüne alalım. Dünyanın uzayın merkezinde ve düz olduğu şeklinde bir görüş yaygındır. Rönesansla birlikte Kopernik’in kozmolojisi uzay fiziğini doğru bir yere getirdi. Güneş sistemi, yörünge hareketi, uzay cisimlerinin küreselliği anlaşıldı. Dünyaya, uzay ve zamana bakış, algı değişmeye başladı. Ama Öklid geometrisi üç boyutlu düzlem uzayı içerisinde geçerlidir.

15. yy’dan Rönesansla başlayarak 18. yy’a kadar bilimsel bilgi temeline yerleşen yer ve uzay fiziği yeni düşünceler ve görüşler kazandırmaya başlamıştı. Kepler Kopernik’ten aldığı yer merkezli sistemde gezegenlerin eliptik yörünge hesaplarını yaptı ve Galileo’dan Newton’a evrenin geometrik işleyişi üzerine güçlü bilgiler ortaya çıktı. Fizik yasalarının evrenin her yerinde aynı karakterde olması evrensel bir bilim dilini de tescillemiş oluyordu. Bilim ve felsefe anlayışındaki gelişmelerle Öklid geometrisi evrenin ortaya çıkarılmış yeni görüntüsü karşısında örneğin V. postulat üzerinden Öklid dışı geometrilerle bir uyumsuzluk çıkarıyordu. Bu konuyla ilgilenen matematikçiler yeni evren tablosuyla V. postulat arasında bazı çelişkiler olduğunu görüyorlardı. Kant da Öklidyen geometrik önermeleri saf aklın zorunlu görüsü olarak değerlendirdiği için ortalık biraz daha karışıyordu.

Düzlem geometri ortaya çıkan Öklid dışı geometriler karşısında çökecek miydi? Düzlem geometrinin aksiyomları kabul edilirken V. postulat üzerindeki kritik çelişme Kant’ın felsefi önermesini de çürütür müydü? Konuyu inceleyecek olursak dünyanın eliptik yüzeyi içerisinde düzlemsel alanlar vardır. İnsanın fiziksel boyutu nedeniyle üzerinde bulunduğu eğrisellik fark edilmiyordu. Eliptik geometrinin boylamları da aslında üzerinde düzlemsel mesafeleri taşıması bakımından düzlem geometrinin eliptik geometriye içkin bir özellik olduğunu verir. Yani kendi uzayları açısından çelişki taşımaz.

Öklid dışı geometrilerin görecelik teorisine, kuantum fiziğine olan etkileri göz önüne alındığında oynadığı rol anlaşılır. Düzlem geometrinin ise klasik mekaniğin gelişmesindeki rolü zaten iki bin üç yüz yıldan beri bilinmektedir.

Karşılaştırmalar

Öklid’in paralellik postulatı daha önce de belirttiğimiz tren raylarındaki zorunlulukta kendini gösterdiği gibi elektrik devreleri açısından da geçerliliğini gösterir. Faz ve nötr, pozitif ve negatif birbirlerine paralel gitmek, kesişmemek zorundadırlar. Üzerleri yalıtılmış iletkenler karmaşık bir şekilde toplanmış olsa da iletkenden 180 derecelik açıyla geçen elektrik akımı karşı kutba ya da nötre göre yine paralelliğini korumaktadır. Havai hatlardaki çıplak tellerin ise birbirine paralel çekilmesinden başka çare yoktur. Öklid zamanında tren rayları, elektrik kabloları yoktu ama bunlar V. postulatın fizik gerçekliğe uygunluğunun kanıtı olmaktadır.

Saf görüdeki formun deneyden bağımsızlığı Kant tarafından nitelendirilse de deney alanıyla bir uzlaşımın olması gerekliliği ortaya çıkar. Yani teorik olarak kazanılan formun pratiğe de uygulanabilirliğinin olması beklenir. Yoksa onlar zihnin kendi döngüselliği içerisinde yansımasız olarak kalır. Dikkat edilirse on dokuzuncu yüzyılda Faraday’ın manyetizmanın iletkende oluşturduğu elektromanyetik etkiyle ilk basit elektrik motorunu bulması ve Maxwell’in elektromanyetik alanın da manyetizmayı yaratacağını, aslında her iki manyetizmanın aynı şeyler olduğunu gösteren bilimsel buluşlarından sonra elektrik motoru üretimine geçilmesi bilimden teknolojiye doğru gidişin kapısını aralamıştır. O zamana kadar teknoloji deneme yanılma yöntemleriyle kendini geliştiriyor, daha sonra bilimsel yasalar ortaya çıkıyordu. Örneğin buhar makinesi ticari olarak üretilmesine rağmen termodinamik yasaları ancak yüz yıl sonra ortaya konmuştu. On dokuzuncu yüzyıla kadar teknoloji bilimsel buluşlardan önce geliyordu. Elektrik motoruyla beraber bu anlayış tersine döndü ve pahalı, zahmetli olan deneme yanılma yönteminin yerine önce teorik tasarımlara, bilimsel temellendirmelere dayanılıp sonra teknolojik üretime geçilmeye başlandı. Böyle bir dönüşüm hem zaman hem maliyet açısından daha verim sağlıyordu. Burada Kant’ın a priori formları bir yönüyle önem kazanıyor görünmektedir. Yeter ki bir ucunun nesnel dünyaya yansıması elden bırakılmamış olsun. Kant’ın sentetik a priori formlar dediği şey deney dışı zihnin kendinde şeye dayanan zorunlu (apodiktik) yargıydı. Burada sorunlu, karışık bir durum ortaya çıkıyor. Geometrik önermelerde a priorinin önemli bir rolü olduğu açıktır ama işleyişin deney dünyasından gelenlerin kuramsal sentezlenmesi ve deney dünyasına yansımasının diyalektiği olarak görülmesi daha yerinde olacaktır. Çünkü bu tip önermeler deney dünyasına yansıdığında zaman ve mekânın uzayına bağlı özellikleriyle ölçümlenmeye başlar. Sorun bir yönüyle de Kant’ın sisteminde görülen dikotomilerdeki düalizmden, antinomilerden gelen çelişik yapılara dayanmaktadır. Buradan postulatın hatalı olduğu anlamı çıkartılamaz ama Öklid dışı geometriler ve bazı felsefi yaklaşımlar karşıt önermelerini ileri sürmüşlerdir.

Bu nedenledir ki 18. yüzyılda fizik alanındaki gelişmeler Kant’ın ve Öklid geometrisinin üzerinde şüpheleri üzerine çekmiştir. Ama bu durum iddiaların haklı olduğunu göstermez. Çünkü her bir geometrinin kuramlaştırıldığı uzay alanı farklıdır. Kant’ın saf görüsü düalizminden dolayı eleştirilebilir ama aklın (zihnin) a priori bir yönü olduğu gerçeğini de değiştirmez. Sonuçta Öklid dışı geometriler de aklın a priori görüsüne başvurmak zorunda kalıyorlardı. Ki Kant’ın da belirtmek istediği zorunluluğu buna yormak daha doğru olur.

Hiperbolik geometri yüzey topolojilerini incelerken hem deneyi hem a prioriyi kullanmak durumundaydı. Hiperbolik geometri negatif yüzeylerin yapısına göre çıkartılmış bir sistem olup düzlem geometri uzayına bağlı değildir.

Hiperbolik geometri kürenin iç yüzeyinde alınan bir doğrunun dışındaki noktadan o doğruya en az iki veya üzeri paralel doğru geçeceğini söylemektedir. Burada doğru jeodezik yani eğrisel bir doğrudur. Negatif yüzey düzlemsel doğru “sıfır” kabul edilirse sıfırdan küçük bir doğru özelliği taşır. Doğruya d dersek d<0 olur. Aynı zamanda iki paralel arasına çizilecek üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçük olacaktır. Böyle bir paralellik yalnızca hiperbolik düzlemde geçerlidir. Çember uzayı konumunda ele alındığında sonsuzda birbirini kesen doğru çiftleri çıkabilir. Hiperbolik geometride alanla sınırlı birbirini kesmeyen doğruların paralelliği geçerlidir.

Düzlem geometride iki paralel doğru arasındaki üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Paralellik anlayışında düzlemsel ya da ışınsal hareket söz konusudur. Hiperbolik geometride ise negatif eğimli yüzey nedeniyle paralellik doğrusal olarak sıfırın, açısal olarak da 180 derecenin altında olmaktadır. Bu durumda paralellik birbirini kesmeyen jeodezik doğru yapısındadır. Hiperbol üçgen ve paraleller bir yemek kaşığının ya da kepçenin, çay bardağının iç bükey yapısı üzerinde de düşünülebilir.

Eliptik geometriye gelince onun da yine dünya küresini göz önüne alarak paralellik sorununa yaklaştığını görürüz. Ekvator çemberi üzerinde dik olarak çekilen boylamsal doğrular kutuplarda kesişmektedir. Çember üzerindeki dikmelerde aralarında 180 derece fark olmasına rağmen küre yüzeyinde kazanılan eğimsellik nedeniyle kutup noktalarına doğru kesişirler, yani hiçbiri paralellik taşımaz. Eliptik postulat da V. postulata ters düşmekte, birbirine paralel hiçbir doğrunun olamayacağını söylemektedir. Bir portakal kabuğunu soyduğumuz zaman dilimdeki çizgiler alt ve tepe noktalarda kesişir. Bu örnekleme eliptik geometrinin önermesini lokal düzeyde kavramamızı sağlar. Ancak düzlemsel yüzeyde geçerli olamayacağını da söylememiz gerekir. İkinci bir farklılık da boylamlar arasına çizilecek bir üçgenin iç açılarının toplamı diğer iki geometriden farklı olarak 180 dereceden büyük olmasıdır.

Bir yemek kaşığının arka yüzüne yapacağımız çizimlerle de eliptik geometrinin önermelerini gözlemleyebiliriz. Pozitif yüzeyli bir alanda doğrunun değeri d>0 olacaktır. Her üç geometrinin de önermeleri birbiriyle uyuşmuyor ama evrensel bütünlük içerisinde bakıldığında o bütünlüğün kısımlarına bağlı kendi uzaysal özelliklerini vermiş oluyor. Bu nedenle hepsi kendi uzay alanlarında geçerlidir. Her üç geometri için de doğru kavramını ifade edersek:

d=0 Düzlem doğru
d<0 Hiperbolik doğru
d>0 Eliptik doğru

Yeni geometrilerle bazı yanlış düşünceler de ortaya çıkmıştır. Örneğin düzlem geometrinin evrensel geçerliliği yok mudur? Kant’ın Öklidyen geometriye dayanarak ileri sürdüğü saf görü düşüncesinde V. postulat Kant felsefesinin çökmüş olabileceğini çıkarır mı? On dokuzuncu yüzyılın son çeyreğinde matematikçi ve analitik felsefenin kurucusu sayılan Frege (1848-1925) Kant’ın aksine aritmetiği analitik önermelere dayandığını söyleyerek mantık diline indirgemeye çalıştı. Yine matematikçi, analitik felsefeci Russell de (1872-1970) matematik ve felsefede aynı yolu izleyerek indirgemeci mantıksal sembolik bir dil kurmak istedi. Russell “Matematiğin İlkeleri” adlı yapıtı üzerinde çalışırken naif küme kuramında “Russell paradoksu” olarak adlandırılan bir çelişkinin ortaya çıktığını fark etti. Aynı çelişkinin Frege’nin mantık sistemindeki dizgesinde de bulunduğunu keşfedip onu haberdar etti. Russell daha sonra çelişkinin çözümüne yönelik başka bir kurama yönelmiştir. Yeterli bir çözüm sağlamasa da bilgisayar ve dilbilim alanlarında katkı sağlayıcı yönü olmuştur.

Einstein, Riemann geometrisinin fizikteki yeri ve önemini yazılarında sıkça dile getirir. Görecelik teorisinde Öklid dışı geometrilerin rolüne değinir. Matematik dilinde fizik uzayın dört boyutlu olarak Riemanncı bir ölçeğe sahip olduğunu söyler. Bir de ışığın uzay-zamanda kütle çekim etkisiyle bükülen bir özellik taşıdığı ifade edilir. Maxwell ışığı uzayda dalgasal ilerleyen elektromanyetik alan olarak tarif ediyordu. Geometri ve fizikteki bu gelişmeler uzay-fizik yorumunun yeni bir felsefi boyutunu da ortaya çıkarmıştı. Herakleitos’tan gelen ve Sofistlerde farklı anlamlara çekilen değişim ilkesinin üç boyutluluğu görecelik teorisinde zaman faktörünün eklenmesiyle dört boyutlu hale geldi. Bir cismin t zamandaki hızı farklı yerlerde bulunan gözlemcilerin konumuna göre farklı algılanabiliyordu. Örneğin a gözlemcisi cisimden çok uzaktaysa cismin t zamandaki hızı yavaş görünebilir, b gözlemcisi yakındaysa t zamandaki hızı daha hızlı görünebilirdi.

Düzlem geometrinin fizik dünyayla ilgili bazı örneklerini verdik. Bu örnekleri çoğaltmak mümkündür. Eliptik geometri de pozitif bükülmüş alanlar için geçerliliğini ortaya koydu. Hiperbolik geometri negatif eğimli içsel mekânlarda hareketin niteliği hakkında bize yeni şeyler söylemektedir.

Sonuç, Tartışma ve Öneriler

Eğitim alanında, üniversite son sınıf öğrencileri arasında yapılan veri toplama analizinde üniversite öğrencilerinin Öklid dışı geometrilerle ilgili bilgilerinin olmadığı veya yanlış bilgiler taşıdıkları sonucu elde edilmiştir (Koparan, 2019).

Oysa bu geometriler günlük yaşamın içerisinde evren algımızı oluşturacak teknolojik, estetik boyutu da olan geometrilerdir. Origami sanatı, topolojik oyunlar, uzayın farklı yönlerindeki geçişmelerinin kavranması kişisel, bilişsel, estetik gelişimde olumlu rol oynar. Bu geometrileri yalnız kuramsal açıdan değerlendirmek noksan kalacaktır. Çocuklar oyuncak trenlerle oynarlarken aslında V. postulatın geometrik formuyla haşır neşir olur. Her gün trene binen insanların birçoğu oradaki V. postulatın işleyişini bilmeden yaşamlarını sürdürür. Hiperbolik terim olarak kulağımıza yabancı da gelse de günlük yaşamımıza giren eşyalarda, teknolojide karşımıza çıkmaktadır. Geometrik kavrayışların evrensel algıda, üretici ve doğru bir zihin oluşturmada önemli bir yer kapladığı anlaşılabilir. Her yaştan insan bunları deneyimleyebilir. Çocuklara da kazandırıldığında bu onların becerilerini, dünya görüşlerini zenginleştirip artırır.

Bazıları bunlar tabletlerle kazanılmıyor mu diye sorabilir. Elbette tuşlara basarak bir ekrana ulaşmak kısmi bir beceri kazandırsa da mekanik tekrarların artık geliştirici olmadığı bilinen şeydir. Portakal dilimlerinin nasıl gözlemlenmesi gerektiğini öğrenen bir kişi artık portakal dilimlerindeki doğasal geometriyi de görebilecektir. Öklid geometrisi veriliyor olsa da felsefi bağlantı ve kavramlarıyla anlaşılması zihni daha bilinçli hale getirir. Paralellik yasası günlük yaşamımıza kazandırılmış olmakla birlikte yeterli bir derinliğe sahip olunmadığı düşünülebilir. Öklid dışı geometriler konusundaki bilgisizlik bırakalım orta eğitim düzeyini üniversite düzeyinde de görülmektedir. Yani öğretmen adayları da dâhil önemli bir kesimin konunun gerektirdiği bilginin yanı sıra felsefi ve kavramsal bağlantılardan da yoksun olduğu anlaşılır. Oysa günümüzün kompleks hayatında zihni sadeleştirmenin, geliştirmenin yolunun konuya bağlı rolünü düşünebiliriz. Açıktır ki gelişen teknolojik hayatın, piyasa düzeninin karşısında yurttaşların kavramsal bir evren algısıyla kapsayıcı bir perspektife, vizyona sahip olması yararlı olacaktır.

Günlük sıradan paralelliklerde spor-gelişme, adalet-hak, dostluk-uyum vs. gibi değerlerin konumu kolayca anlaşılabilir. Görecelik de kendi açısından bir felsefi yansıma taşır. Hiperbolik geometriden kuantuma uzanan alanda felsefi yansımalar yaşamın içinde kendini belli etmektedir diyebiliriz. Kuantum düşünce buna bir örnek olabilir.

Küçük çocukların önce topolojik, sonra projektif, daha sonra Öklidyen bir uzay görüşüne sahip oldukları belirtilmektedir (Delice, Karaaslan, 2016). Topoloji eğitimi de Öklid dışı geometriler gibi programda yer almıyor. Oysa topolojik kavramlar sezgisel olarak kazandırılabilir. Ceket altındaki yeleğin ceket çıkartılmadan nasıl çıkartılacağı topolojik etkinliğe bir örnektir. Yine mobius şeridi, iç dış sınır kavramları, eğriler ve yüzeyler, alan, çizgeler vs. bunların arasındadır.

Üç geometriyle ilgili olarak üniversite son sınıf öğrencileri arasında yapılan ön-testte verilen açık uçlu sorulardan elde edilen analizden (Koparan, 2019) Öklid geometrisinde kısmen doğru cevaplar verdikleri, Öklid dışı geometrilerde ise başarılı olamadıkları görülmüştür. Öğrencilere üç haftalık Öklid dışı geometri öğretiminden sonra yapılan son-testte rahatlıkla yanıtlar oluşturabildikleri sonucu çıkmış, öğrenme ortamının da etkili olduğuna dikkat çekilmiştir.

Eğitim basamaklarında Öklid geometrisi verilmekle birlikte Öklid dışı geometriler daha aşamalı düşünme becerisi gerektirdiğinden lisans programlarına dönük olsa da yer almadıkları görülmektedir. Bir de geometri eğitimine ilişkin önceki basamaklardan gelen bir boşluk bulunmaktadır. Türkiye’deki öğrencilerin uluslararası değerlendirmeye göre geometride en zayıf konulardan olduğu ifade edilmektedir (Koparan, 2019, 190). Tabii bunun öğrenim tarzları, ortam ve materyalleriyle ilgili olduğu düşünülebilir. Sorun düşünce biçiminin kazanımlarına ilişkin sezgisel, analitik vs. yönleriyle ilgilidir. Düşünce biçimlerinin kazanılmasında çocukların dönemsel doğal uzay algılarına ilişkin yetenekleriyle birleştirilmesinin yararlı olacağı anlamını çıkarabiliriz.

Örneğin alt öğrenim basamaklarında geometrilerin topolojik, oyunsal uygulamalarıyla sezgisel ve kavramsal kazanımı sağlanabilir. Elastiki malzemelerle yapılacak form çalışmaları, örneğin bir simidin fincana dönüşümü, origami tarzı kâğıt materyallerle yapılacak üç boyutlu cisimler, birçok örnek ortaya konabilir. El becerisiyle beraber düşünme, imgeleme, tasarımlama, bağlantılandırma becerilerini de geliştirir. Bu tarz bir öğrenme dünyayı, uzamı, evreni algılamada vizyonun kazanılmasına olanak sağlar. Felsefi bağlantıların, kavram ve sezgilerin fizik dünyada olduğu kadar değerler ve sosyal ilişkilerdeki şemalarda da bir dayanak sağladığını çıkarabiliriz.

FATİH OTO

Kaynakça
Delice A, Karaaslan G, Topolojinin ilkokul, ortaokul ve lise matematik dersi öğretim programlarında ele alınmasının tartışılması, Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Eğitim Bilimleri Dergisi Ocak / 2016 • Cilt-Sayı / Volume-Issue: 43 ss/pp.
Einstein, (2006, 245). İstanbul: Say
filozof.net
Kant, (2010). İstanbul: Say
Koparan T, Üniversite Öğrencilerinin Öklid-Dışı Geometrilere Yönelik Algılarının ve Tasarlanan Öğrenme Ortamlarından Yansımaların İncelenmesi, Yükseköğretim ve Bilim Dergisi/Journal of Higher Education and Science DOI: 10.5961/jhes.2019.320
Kökcü A, Euclid dışı geometrilerin matematik tarihi ve felsefesindeki yeri, Özne 27. Kitap –
Güz 2017: Hegel
Öklid’in Elemanları, (2019, 3) Ankara: TÜBİTAK

Fatih oto
Fatih oto

Yıldız Üniv. Kocaeli Müh. Fak. MYO Elektrik Bölümünden mezun oldu. Anadolu Üniv. Felsefe Lisanı üç yıl sürede onur derecesiyle bitirdi. Eğitim Bilimleri Enstitüsünde Karakter ve Değer Eğitimi Yüksek Lisansını yaptı. Türk Dili ve Edebiyatı Yüksek Lisansa başladı. Psikoloji sertifikaları bulunmakta. Çeşitli dergi ve gazetede yazıları çıktı. Resim sanatıyla da uğraşı olup sergiler açtı.

Yayınlanmış Kitapları
1992, roman, Siyah Kristal, Bursa
2004, roman, Edim’in Hayatı, Pencere Yayınevi, İstanbul
2006, öykü, Çapraz İlişki, Bursa
2006, roman, Değişen Zaman, Bursa
2006, roman, Tuvalin Gölgesinde, Bursa
2013, roman, Koanı Bulmak, KKM Yayınları, Ankara
2013, felsefe, Sistematik Felsefe, KKM, Ankara
2017, felsefe, Estetik ve Sanatın Felsefi Kökenleri, KKM, Ankara
2018, felsefe, Zihnin Metafiziği, KKM, Ankara
2019, felsefe-psikoloji, Dünya Görüşü ve Yaşam Sanatı, Dorlion Yayınları, Ankara
2020, roman, Konversiyon Histeri, Dorlion Yayınları
2021, roman, Ustalar ve Çıraklar, Lora Yayıncılık (Florakitap)